olesiden · metode
En redegjørelse for formlene, forutsetningene og valgene bak de tre kalkulatorene — inkludert det de ikke tar høyde for. Formlene er samlet til slutt.
Det du skriver blir lest i tre trinn. Først oversettes Word- og LaTeX-notasjon til et internt
format (\sqrt(x), \frac{a}{b}, \alpha, ≤ og så videre).
Deretter deles teksten opp i enkeltbiter — tall, variabelnavn, operatorer — og til slutt bygges
et syntakstre som representerer regnestykkets struktur.
Treet er det som gjør at regnerekkefølgen blir riktig. 2+3*4 blir ikke 20, fordi
multiplikasjonen havner lenger ned i treet og regnes ut først.
-x^2 betyr -(x²), ikke (-x)². Det er standard matematisk
konvensjon, men lett å gjøre feil i en parser — vil du ha kvadratet av et negativt tall, må du
skrive parentesen selv: (-x)^2.
Når du skriver en likning, flyttes alt over på venstre side, slik at det står
uttrykk = 0. Uttrykket gjøres så om til en liste med koeffisienter — tallene foran
x⁰, x¹ og x². Er den høyeste koeffisienten null, er
likningen lineær og løses direkte. Ellers brukes andregradsformelen.
Diskriminanten (uttrykket under rottegnet) avgjør hva slags svar du får: er den positiv finnes to løsninger, er den null finnes én, og er den negativ finnes ingen reelle løsninger. Kalkulatoren regner ikke med komplekse tall, så det siste tilfellet gir beskjed om at det ikke finnes noen løsning.
Ulikheter løses ved fortegnsresonnement, ikke ved å behandle dem som likninger. For en lineær ulikhet finner vi grensen og ser hvilken vei den peker — og snur ulikhetstegnet dersom vi deler på et negativt tall, som er den klassiske fellen.
For andregradsulikheter finner vi først nullpunktene, og avgjør deretter om løsningen ligger
mellom dem eller utenfor dem. Det avhenger av om parabelen vender opp eller ned:
x²−5x+6>0 gir x<2 eller x>3, mens x²−5x+6<0 gir
2<x<3 — samme nullpunkter, motsatt svar.
Flere likninger skilles med semikolon. Er alle lineære, løses systemet med Gauss-eliminasjon med delvis pivotering — en systematisk måte å eliminere ukjente på, der man alltid velger den største tilgjengelige koeffisienten som pivot for å unngå unødvendige avrundingsfeil.
I utvidet modus tillates nøyaktig én andregradslikning i systemet. Da uttrykkes de øvrige ukjente ved hjelp av den ene som er igjen, substitueres inn i andregradslikningen, og resultatet løses med samme andregradsformel som over.
π er en konstant, ikke en ukjent. Σ er reservert til summetegn.Alt bygger på renters rente: et beløp som forrentes med samme sats hver periode, vokser eksponentielt. Legger du i tillegg inn et fast beløp hver periode, får du en annuitet, der hvert innskudd rekker å forrentes i ulikt antall perioder — det første lengst, det siste kortest.
10 000 kr til 8 % i 20 år blir 46 610 kr. Av dette er 10 000 kr dine egne penger og 36 610 kr avkastning.
Renten du skriver inn tolkes som effektiv årsrente. Det betyr at tallet er den faktiske veksten over et år: skriver du 8 %, blir pengene 8 % større i løpet av året — verken mer eller mindre, uansett om du velger månedlig eller årlig innskudd.
Månedsrenten regnes derfor ut som den renten som forrentet tolv ganger gir nøyaktig årsrenten,
altså (1+r)^(1/12) − 1. For 8 % blir det 0,643 % i måneden — ikke 8/12 =
0,667 %.
Under «Avanserte innstillinger» kan du bytte til nominell rente. Da deles årsrenten rett på antall perioder: 8 % blir 0,667 % i måneden. Fordi rentene selv forrentes videre måned for måned, ender året da på 8,30 % faktisk vekst — litt mer enn tallet du skrev.
Du kan velge om de periodiske innskuddene skjer ved slutten av hver periode
(etterskudd, standardkonvensjonen) eller ved begynnelsen (forskudd). Forskudd
gir hvert innskudd én ekstra periode med renter, og tilsvarer nøyaktig etterskudd der
innskuddsleddet ganges med (1+i).
Forskjellen er reell, men beskjeden: 1 000 kr i måneden i 20 år til 6 % gir 453 439 kr etterskuddsvis mot 455 646 kr forskuddsvis — 2 207 kr i forskjell. Ved negativ avkastning snur effekten: da taper du mer på å sette inn tidlig.
Totalt innskutt er det samme uansett hvilket du velger. Det er bare rentetiden som skiller.
Kalkulatoren lar deg la ett felt stå tomt, og regner det ut fra de andre. De fleste retningene har en eksakt formel som kan skrives opp direkte. To har det ikke:
| Ukjent | Metode |
|---|---|
| Resultat | Eksakt formel |
| Startbeløp | Eksakt formel |
| Beløp per periode | Eksakt formel |
| Antall år (gitt resultat) | Eksakt formel (logaritme) |
| Rente | Numerisk — halveringsmetoden |
| Antall år (gitt avkastning i kr eller %) | Numerisk — halveringsmetoden |
Grunnen er at renten opptrer både i eksponenten og i annuitetsleddet samtidig, og at antall år opptrer både eksponentielt og lineært når målet er oppgitt som avkastning. Slike likninger kan ikke løses med vanlig algebra.
Halveringsmetoden løser dem ved å innsnevre et intervall: den prøver midtpunktet, ser om svaret ble for høyt eller for lavt, kaster halvparten som ikke kan inneholde løsningen, og gjentar. Kalkulatoren søker mellom −99,9999 % og 100 000 % i 200 runder. Det gir en presisjon langt bedre enn tallene du putter inn.
Rentefeltet godtar flere skrivemåter, og viser alltid under feltet hvordan det du skrev ble tolket — nettopp fordi reglene ellers er lette å snuble i:
| Du skriver | Tolkes som | Hvorfor |
|---|---|---|
| 4,5% | 4,5 % | Eksplisitt prosenttegn vinner alltid |
| 4,5 | 4,5 % | Tall på 1 eller mer brukes direkte som prosent |
| 0,05 | 5 % | Tall under 1 tolkes som ren brøk og ganges med 100 |
| 0,5 | 50 % | Samme regel — under 1 er brøk |
| 0,5% | 0,5 % | Vil du under 1 %, må du skrive prosenttegnet |
Terskelen går ved 1, regnet uten fortegn. Det er en avveining: 0,05 er nesten aldri
ment som 0,05 % rente, mens 4,5 nesten alltid er ment som 4,5 %.
Avkastning i kroner er resultatet minus totalt innskutt — altså startbeløpet pluss alle de periodiske innskuddene, ikke bare startbeløpet. Avkastning i prosent er den samme kronesummen delt på totalt innskutt.
Det er verdt å merke seg at avkastning i prosent regnet på denne måten ikke er det samme som årlig avkastning. Sparer du jevnt over 20 år, har de siste innskuddene stått i noen få måneder, og prosenttallet blir derfor lavere enn renten skulle tilsi.
Kurven viser verdien over tid, med en stiplet linje for totalt innskutt, slik at avstanden mellom dem er avkastningen. Kurven er tegnet som en glatt interpolasjon, ikke som trappetrinn. I virkeligheten hopper saldoen ved hvert innskudd; det er valgt bort fordi 240 månedlige trinn blir uleselig. Endepunktene er alltid eksakte.
Regnestykket er altså et øvre anslag under ideelle forutsetninger, ikke en prognose. Det er nyttig for å sammenligne alternativer mot hverandre, mindre nyttig som fasit på hva du faktisk sitter igjen med.
Desimalodds forteller hvor mye du får igjen per krone satset. En odds på 2,00 betyr at innsatsen dobles. Snur du dette, får du den implisitte sannsynligheten: 1 delt på odds. Odds 2,00 tilsvarer 50 %, odds 4,00 tilsvarer 25 %.
Legger du sammen de implisitte sannsynlighetene for alle utfall i et marked, skulle summen vært nøyaktig 100 % dersom oddsen var rettferdig. Det er den aldri. Overskuddet er bookmakerens margin.
Eksempel med odds 2,10 / 3,40 / 3,20: de implisitte sannsynlighetene summerer til 108,28 %. Margin er da 8,28 %, og forventet tilbakebetaling 92,35 % — altså det du i snitt får igjen per hundrelapp satset over tid.
For å anslå hva bookmakeren faktisk tror om utfallene, må marginen fjernes. Kalkulatoren gjør dette proporsjonalt: hver implisitte sannsynlighet deles på summen, slik at de til sammen blir nøyaktig 100 %.
Logger du odds, lagres den rå oddsstrengen sammen med utregnet margin og tilbakebetaling, med tidsstempel. Rå odds er sannheten i basen — de utregnede tallene lagres bare for å slippe å regne om ved visning.
Måneder og år har ulik lengde i kalenderen, så en omregning må velge en konvensjon. Kalkulatoren bruker 365,25 dager per år — gjennomsnittet når skuddår tas med — og en gjennomsnittsmåned på 365,25/12 ≈ 30,44 dager. En måned er altså nøyaktig 1/12 år, uansett hvilken måned det er snakk om.
Konsekvensen er at oppdelingen er en god tilnærming, ikke en kalenderpresis dato: åtte måneder fra i dag lander ikke nødvendigvis på samme dag som kalenderen ville sagt. Til gjengjeld blir regnestykket uavhengig av hvilken dato man starter på, som er det man vil ha i en avkastningsberegning.